Cálculo de la matriz inversa
En esta página vamos a explicar los dos métodos más utilizados para calcular la matriz inversa:
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Método de Gauss
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Método de la adjunta
Índice de contenidos:
- Introducción
- Inversa mediante Gauss
- Inversa mediante la adjunta
- Más ejemplos
Enlace: Calculadora online de la matriz inversa
Introducción
Recordad que si \(A\) es una matriz cuadrada de dimensión \(nxn\) y es regular (su determinante es distinto de 0), entonces existe una matriz llamada matriz inversa de \(A\), \(A^{-1}\), tal que
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\(A^{-1}\) es de dimensión \(nxn\)
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\(A^{-1}\) es el inverso multiplicativo de \(A\) por ambos lados, es decir,
![A·(A^-1) = I, (A^-1)·A = I Explicamos el método de Gauss y de la matriz adjunta para calcular la matriz inversa de una matriz cuadrada regular. Con ejemplos. Bachillerato. Universidad. Matemáticas. Álgebra matricial.](https://www.problemasyecuaciones.com/matrices/inversa/T0.png)
siendo \(I_n\) la matriz identidad de dimensión \(nxn\)
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Su determinante es
![determinante de la inversa: |A^-1| = 1/|A| Explicamos el método de Gauss y de la matriz adjunta para calcular la matriz inversa de una matriz cuadrada regular. Con ejemplos. Bachillerato. Universidad. Matemáticas. Álgebra matricial.](https://www.problemasyecuaciones.com/matrices/inversa/T1.png)
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\(A^{-1}\) es única, es decir, es la única matriz que cumple las igualdades del segundo punto.
Inversa mediante Gauss
Dada una matriz \(A\) cuadrada de dimensión \(nxn\) y regular, definimos la matriz por bloques formada por la matriz \(A\) y la matriz \(I_n\) (matriz identidad de dimensión \(nxn\)):
![matriz por bloques G = (A|I) Explicamos el método de Gauss y de la matriz adjunta para calcular la matriz inversa de una matriz cuadrada regular. Con ejemplos. Bachillerato. Universidad. Matemáticas. Álgebra matricial.](https://www.problemasyecuaciones.com/matrices/inversa/T2.png)
Por ejemplo, si A es dimensión 2x2,
![matriz por bloques G = (A|I) siendo A una matriz de dimensión 2x2 Explicamos el método de Gauss y de la matriz adjunta para calcular la matriz inversa de una matriz cuadrada regular. Con ejemplos. Bachillerato. Universidad. Matemáticas. Álgebra matricial.](https://www.problemasyecuaciones.com/matrices/inversa/T3.png)
Y si es de dimensión 3x3,
![matriz por bloques G = (A|I) siendo A una matriz de dimensión 3x3 Explicamos el método de Gauss y de la matriz adjunta para calcular la matriz inversa de una matriz cuadrada regular. Con ejemplos. Bachillerato. Universidad. Matemáticas. Álgebra matricial.](https://www.problemasyecuaciones.com/matrices/inversa/T4.png)
Para calcular la matriz inversa de \(A\), se realizan operaciones elementales fila para conseguir la forma escalonada reducida de la matriz \(G\).
Dicho en otras palabras, se realizan operaciones elementales filas hasta conseguir la matriz identidad en el bloque izquierdo de la matriz \(G\), es decir,
![matriz por bloques (I|B) obtenida al finalizar el método de Gauss para hallar la inversa Explicamos el método de Gauss y de la matriz adjunta para calcular la matriz inversa de una matriz cuadrada regular. Con ejemplos. Bachillerato. Universidad. Matemáticas. Álgebra matricial.](https://www.problemasyecuaciones.com/matrices/inversa/T5.png)
Al terminar las operaciones, la matriz identidad que había en el lado derecho se ha transformado en otra matriz \(B\). Esta matriz \(B\) es precisamente la matriz inversa de \(A\).
Ejemplo
![matrices A = (1, 4; 0, 1) y A^-1 = (1, -4; 0, 1) Explicamos el método de Gauss y de la matriz adjunta para calcular la matriz inversa de una matriz cuadrada regular. Con ejemplos. Bachillerato. Universidad. Matemáticas. Álgebra matricial.](https://www.problemasyecuaciones.com/matrices/inversa/T6.png)
Ver operaciones
Construimos la matriz por bloques:
![matriz por bloques (1, 4| 1, 0; 0, 1 | 0, 1) Explicamos el método de Gauss y de la matriz adjunta para calcular la matriz inversa de una matriz cuadrada regular. Con ejemplos. Bachillerato. Universidad. Matemáticas. Álgebra matricial.](https://www.problemasyecuaciones.com/matrices/inversa/T7.png)
Para obtener la matriz identidad en el bloque izquierdo sólo tenemos que restarle a la fila 1 cuatro veces la fila 2:
![restamos 4 veces la fila 2 a la fila 1 Explicamos el método de Gauss y de la matriz adjunta para calcular la matriz inversa de una matriz cuadrada regular. Con ejemplos. Bachillerato. Universidad. Matemáticas. Álgebra matricial.](https://www.problemasyecuaciones.com/matrices/inversa/T8.png)
Como ya tenemos la identidad en el bloque izquierdo, la matriz del bloque derecho es la inversa:
![matriz inversa de A: (1, -4; 0, 1) Explicamos el método de Gauss y de la matriz adjunta para calcular la matriz inversa de una matriz cuadrada regular. Con ejemplos. Bachillerato. Universidad. Matemáticas. Álgebra matricial.](https://www.problemasyecuaciones.com/matrices/inversa/T9.png)
Inversa mediante la adjunta
En este método tenemos que aplicar la fórmula
![fórmula para calcular la inversa a partir de la adjunta: A^-1 = (A*)^T/|A| Explicamos el método de Gauss y de la matriz adjunta para calcular la matriz inversa de una matriz cuadrada regular. Con ejemplos. Bachillerato. Universidad. Matemáticas. Álgebra matricial.](https://www.problemasyecuaciones.com/matrices/inversa/T10.png)
Es decir, la matriz inversa de \(A\) es la matriz transpuesta de la matriz adjunta dividida entre el determinante de \(A\).
Nota: hemos llamado \(A^*\) a la matriz adjunta de \(A\). A veces, también se utiliza \(A^*\) para denotar la matriz ampliada de un sistema de ecuaciones.
Recordad que la matriz adjunta de \(A\) tiene la misma dimensión que \(A\) y se calcula con determinantes de submatrices:
El elemento de la posición fila \(i\) y columna \(j\) de la matriz adjunta de \(A\) es
![elemento de la fila i y columna j de la matriz adjunta de A Explicamos el método de Gauss y de la matriz adjunta para calcular la matriz inversa de una matriz cuadrada regular. Con ejemplos. Bachillerato. Universidad. Matemáticas. Álgebra matricial.](https://www.problemasyecuaciones.com/matrices/inversa/T11.png)
siendo la matriz \(A_{ij}\) la submatriz de \(A\) obtenida al eliminar la fila \(i\) y columna \(j\) de \(A\).
Ejemplo
![matrices A = (1, 0; 2, 1) y A^-1 = (1, 0, -2, 1) Explicamos el método de Gauss y de la matriz adjunta para calcular la matriz inversa de una matriz cuadrada regular. Con ejemplos. Bachillerato. Universidad. Matemáticas. Álgebra matricial.](https://www.problemasyecuaciones.com/matrices/inversa/T12.png)
Ver operaciones
Calculamos el determinante de la matriz \(A\):
![el determinante de la matriz A = (1, 0; 2, 1) es 1 Explicamos el método de Gauss y de la matriz adjunta para calcular la matriz inversa de una matriz cuadrada regular. Con ejemplos. Bachillerato. Universidad. Matemáticas. Álgebra matricial.](https://www.problemasyecuaciones.com/matrices/inversa/T13.png)
Calculamos la matriz adjunta de \(A\). Como su dimensión es 2x2, tenemos que calcular determinantes de dimensión 1.
El elemento de la posición (1,1) es
![el elemento de la posición (1,1) de la matriz adjunta de A es 1 Explicamos el método de Gauss y de la matriz adjunta para calcular la matriz inversa de una matriz cuadrada regular. Con ejemplos. Bachillerato. Universidad. Matemáticas. Álgebra matricial.](https://www.problemasyecuaciones.com/matrices/inversa/T14.png)
El elemento de la posición (1,2) es
![elemento de la posición (1,2) de la matriz adjunta de A es -2 Explicamos el método de Gauss y de la matriz adjunta para calcular la matriz inversa de una matriz cuadrada regular. Con ejemplos. Bachillerato. Universidad. Matemáticas. Álgebra matricial.](https://www.problemasyecuaciones.com/matrices/inversa/T15.png)
El elemento de la posición (2,1) es
![el elemento de la posición (2,1) de la matriz adjunta de A es 0 Explicamos el método de Gauss y de la matriz adjunta para calcular la matriz inversa de una matriz cuadrada regular. Con ejemplos. Bachillerato. Universidad. Matemáticas. Álgebra matricial.](https://www.problemasyecuaciones.com/matrices/inversa/T16.png)
El elemento de la posición (2,2) es
![el elemento de la posición (2,2) de la matriz adjunta de A es 1 Explicamos el método de Gauss y de la matriz adjunta para calcular la matriz inversa de una matriz cuadrada regular. Con ejemplos. Bachillerato. Universidad. Matemáticas. Álgebra matricial.](https://www.problemasyecuaciones.com/matrices/inversa/T17.png)
Por tanto, la matriz adjunta de \(A\) es
![matriz adjunta de A: (1, -2; 0, 1) Explicamos el método de Gauss y de la matriz adjunta para calcular la matriz inversa de una matriz cuadrada regular. Con ejemplos. Bachillerato. Universidad. Matemáticas. Álgebra matricial.](https://www.problemasyecuaciones.com/matrices/inversa/T18.png)
Calculamos su traspuesta (cambiando filas por columnas):
![traspuesta de la matriz adjunta de A: (1, 0; -2, 1) Explicamos el método de Gauss y de la matriz adjunta para calcular la matriz inversa de una matriz cuadrada regular. Con ejemplos. Bachillerato. Universidad. Matemáticas. Álgebra matricial.](https://www.problemasyecuaciones.com/matrices/inversa/T19.png)
Calculamos la inversa:
![matriz inversa de A: (1, 0; -2, 1) Explicamos el método de Gauss y de la matriz adjunta para calcular la matriz inversa de una matriz cuadrada regular. Con ejemplos. Bachillerato. Universidad. Matemáticas. Álgebra matricial.](https://www.problemasyecuaciones.com/matrices/inversa/T20.png)
Más ejemplos
Matriz 1
Calcular la inversa de \(A\) mediante Gauss:
![matriz A = (1, 2, 0; 2, 3, 0; 0, 0, 1) Explicamos el método de Gauss y de la matriz adjunta para calcular la matriz inversa de una matriz cuadrada regular. Con ejemplos. Bachillerato. Universidad. Matemáticas. Álgebra matricial.](https://www.problemasyecuaciones.com/matrices/inversa/P1.png)
Solución
Construimos la matriz por bloques:
![matriz por bloques del para calcular la inversa de A = (1, 2, 0; 2, 3, 0; 0, 0, 1) Explicamos el método de Gauss y de la matriz adjunta para calcular la matriz inversa de una matriz cuadrada regular. Con ejemplos. Bachillerato. Universidad. Matemáticas. Álgebra matricial.](https://www.problemasyecuaciones.com/matrices/inversa/P1-1.png)
Restamos a la fila 2 el doble de la fila 1:
![Restamos a la fila 2 el doble de la fila 1 Explicamos el método de Gauss y de la matriz adjunta para calcular la matriz inversa de una matriz cuadrada regular. Con ejemplos. Bachillerato. Universidad. Matemáticas. Álgebra matricial.](https://www.problemasyecuaciones.com/matrices/inversa/P1-2.png)
Sumamos a la fila 1 el doble de la fila 2:
![Sumamos a la fila 1 el doble de la fila 2 Explicamos el método de Gauss y de la matriz adjunta para calcular la matriz inversa de una matriz cuadrada regular. Con ejemplos. Bachillerato. Universidad. Matemáticas. Álgebra matricial.](https://www.problemasyecuaciones.com/matrices/inversa/P1-3.png)
Multiplicamos la fila 2 por -1:
![Multiplicamos la fila 2 por -1 Explicamos el método de Gauss y de la matriz adjunta para calcular la matriz inversa de una matriz cuadrada regular. Con ejemplos. Bachillerato. Universidad. Matemáticas. Álgebra matricial.](https://www.problemasyecuaciones.com/matrices/inversa/P1-4.png)
Ya hemos terminado porque tenemos la identidad en el lado izquierdo. Por tanto, la inversa de \(A\) es
![matriz inversa de A obtenida por el método de Gauss: (-3, 2, 0; 2, -1, 0; 0, 0, 1) Explicamos el método de Gauss y de la matriz adjunta para calcular la matriz inversa de una matriz cuadrada regular. Con ejemplos. Bachillerato. Universidad. Matemáticas. Álgebra matricial.](https://www.problemasyecuaciones.com/matrices/inversa/P1-5.png)
Matriz 2
Calcular la inversa de \(A\) mediante su adjunta:
![matriz A = (2, 1, 0; 1, 1, 0; 0, 0, 1) Explicamos el método de Gauss y de la matriz adjunta para calcular la matriz inversa de una matriz cuadrada regular. Con ejemplos. Bachillerato. Universidad. Matemáticas. Álgebra matricial.](https://www.problemasyecuaciones.com/matrices/inversa/P2.png)
Solución
Calculamos el determinante de \(A\):
![el determinante de la matriz A = (2, 1, 0; 1, 1, 0; 0, 0, 1) es 1 Explicamos el método de Gauss y de la matriz adjunta para calcular la matriz inversa de una matriz cuadrada regular. Con ejemplos. Bachillerato. Universidad. Matemáticas. Álgebra matricial.](https://www.problemasyecuaciones.com/matrices/inversa/P2-1.png)
Calculamos la matriz adjunta de \(A\).
El elemento de la posición (1,1) es
![elemento de la posición (1,1) de la matriz A es 1 Explicamos el método de Gauss y de la matriz adjunta para calcular la matriz inversa de una matriz cuadrada regular. Con ejemplos. Bachillerato. Universidad. Matemáticas. Álgebra matricial.](https://www.problemasyecuaciones.com/matrices/inversa/P2-2.png)
El elemento de la posición (1,2) es
![elemento de la posición (1,2) de la matriz A es -1 Explicamos el método de Gauss y de la matriz adjunta para calcular la matriz inversa de una matriz cuadrada regular. Con ejemplos. Bachillerato. Universidad. Matemáticas. Álgebra matricial.](https://www.problemasyecuaciones.com/matrices/inversa/P2-3.png)
El elemento de la posición (1,3) es
![elemento de la posición (1,3) de la matriz A es 0 Explicamos el método de Gauss y de la matriz adjunta para calcular la matriz inversa de una matriz cuadrada regular. Con ejemplos. Bachillerato. Universidad. Matemáticas. Álgebra matricial.](https://www.problemasyecuaciones.com/matrices/inversa/P2-4.png)
El elemento de la posición (2,1) es
![elemento de la posición (2,1) de la matriz A es -1 Explicamos el método de Gauss y de la matriz adjunta para calcular la matriz inversa de una matriz cuadrada regular. Con ejemplos. Bachillerato. Universidad. Matemáticas. Álgebra matricial.](https://www.problemasyecuaciones.com/matrices/inversa/P2-5.png)
El elemento de la posición (2,2) es
![elemento de la posición (2,2) de la matriz A es 2 Explicamos el método de Gauss y de la matriz adjunta para calcular la matriz inversa de una matriz cuadrada regular. Con ejemplos. Bachillerato. Universidad. Matemáticas. Álgebra matricial.](https://www.problemasyecuaciones.com/matrices/inversa/P2-6.png)
El elemento de la posición (2,3) es
![elemento de la posición (2,3) de la matriz A es 0 Explicamos el método de Gauss y de la matriz adjunta para calcular la matriz inversa de una matriz cuadrada regular. Con ejemplos. Bachillerato. Universidad. Matemáticas. Álgebra matricial.](https://www.problemasyecuaciones.com/matrices/inversa/P2-7.png)
El elemento de la posición (3,1) es
![elemento de la posición (3,1) de la matriz A es 0 Explicamos el método de Gauss y de la matriz adjunta para calcular la matriz inversa de una matriz cuadrada regular. Con ejemplos. Bachillerato. Universidad. Matemáticas. Álgebra matricial.](https://www.problemasyecuaciones.com/matrices/inversa/P2-8.png)
El elemento de la posición (3,2) es
![elemento de la posición (3,2) de la matriz A es 0 Explicamos el método de Gauss y de la matriz adjunta para calcular la matriz inversa de una matriz cuadrada regular. Con ejemplos. Bachillerato. Universidad. Matemáticas. Álgebra matricial.](https://www.problemasyecuaciones.com/matrices/inversa/P2-9.png)
El elemento de la posición (3,3) es
![elemento de la posición (3,3) de la matriz A es 1 Explicamos el método de Gauss y de la matriz adjunta para calcular la matriz inversa de una matriz cuadrada regular. Con ejemplos. Bachillerato. Universidad. Matemáticas. Álgebra matricial.](https://www.problemasyecuaciones.com/matrices/inversa/P2-10.png)
La matriz adjunta es
![matriz adjunta de A: (1, -1, 0; -1, 2, 0; 0, 0, 1) Explicamos el método de Gauss y de la matriz adjunta para calcular la matriz inversa de una matriz cuadrada regular. Con ejemplos. Bachillerato. Universidad. Matemáticas. Álgebra matricial.](https://www.problemasyecuaciones.com/matrices/inversa/P2-11.png)
Su traspuesta es
![matriz traspuesta de la matriz adjunta de A: (1, -1, 0; -1, 2, 0; 0, 0, 1) Explicamos el método de Gauss y de la matriz adjunta para calcular la matriz inversa de una matriz cuadrada regular. Con ejemplos. Bachillerato. Universidad. Matemáticas. Álgebra matricial.](https://www.problemasyecuaciones.com/matrices/inversa/P2-12.png)
Nota: la matriz \(A^*\) es simétrica (es igual a su traspuesta).
Por tanto, la matriz inversa de \(A\) es
![matriz inversa de A: (1, -1, 0; -1, 2, 0; 0, 0, 1) Explicamos el método de Gauss y de la matriz adjunta para calcular la matriz inversa de una matriz cuadrada regular. Con ejemplos. Bachillerato. Universidad. Matemáticas. Álgebra matricial.](https://www.problemasyecuaciones.com/matrices/inversa/P2-13.png)
Matriz 3
Calcular la inversa de la siguiente matriz diagonal:
![matriz diagonal A = (5, 0, 0; 0, 2, 0; 0, 0, 7) Explicamos el método de Gauss y de la matriz adjunta para calcular la matriz inversa de una matriz cuadrada regular. Con ejemplos. Bachillerato. Universidad. Matemáticas. Álgebra matricial.](https://www.problemasyecuaciones.com/matrices/inversa/P3.png)
Solución
Si calculamos la inversa mediante la adjunta, tenemos que calcular muchos determinantes. Como la matriz ya es casi la identidad, es más rápido aplicar el método de Gauss:
![matriz por bloques del para calcular la inversa de A = (5, 0, 0; 0, 2, 0; 0, 0, 7) Explicamos el método de Gauss y de la matriz adjunta para calcular la matriz inversa de una matriz cuadrada regular. Con ejemplos. Bachillerato. Universidad. Matemáticas. Álgebra matricial.](https://www.problemasyecuaciones.com/matrices/inversa/P3-1.png)
Sólo tenemos que dividir entre 5 la fila 1, entre 2 la fila 2 y entre 7 la fila 3:
![dividimos la fila 1 entre 5, la fila 2 entre 2 y la fila 3 entre 7 Explicamos el método de Gauss y de la matriz adjunta para calcular la matriz inversa de una matriz cuadrada regular. Con ejemplos. Bachillerato. Universidad. Matemáticas. Álgebra matricial.](https://www.problemasyecuaciones.com/matrices/inversa/P3-2.png)
Por tanto, la inversa de \(A\) es
![matriz inversa de A: (1/5, 0, 0; 0, 1/2, 0; 0, 0, 1/7) Explicamos el método de Gauss y de la matriz adjunta para calcular la matriz inversa de una matriz cuadrada regular. Con ejemplos. Bachillerato. Universidad. Matemáticas. Álgebra matricial.](https://www.problemasyecuaciones.com/matrices/inversa/P3-3.png)
Nota: la matriz inversa de una matriz diagonal regular \(A\) es una matriz diagonal cuyos elementos de la diagonal son los inversos de los de \(A\).
Más ejemplos:
Calculadoras de matrices:
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